【通信技術基礎第11講】

卷積是一種運算寫出卷積的運算步驟，就像加法和乘法一樣。 它有什么特別之處？

圖 1：卷壽司，就像一個卷積

系統(tǒng)中的卷積

對于離散系統(tǒng)T，輸入信號為δ(n)，輸出信號為h(n)，h(n)稱為脈沖響??應； 輸入信號是 x(n) ，輸出信號是 y(n) 。

圖 2：線性時不變系統(tǒng)

通過對單位脈沖序列進行平移和幅度加權，可以得到任意序列x(n)。根據(jù)這種方法，可以得到圖3中序列的表達式

圖 3：離散時間序列

使用脈沖序列 δ(n) 表示 p(n)

公式1

根據(jù)x(n)的脈沖序列表達式，可以推導出y(n)。 由于我們通常研究的是線性時不變系統(tǒng)，所謂時不變是指當系統(tǒng)輸入δ(n)時，輸出為h(n)； 當系統(tǒng)輸入δ(nk)時，系統(tǒng)輸出h(nk)。 所以：

二級方程式

OK，為了簡化系統(tǒng)輸出表達式，我們將這個運算定義為卷積，即系統(tǒng)輸出響應y(n)是輸入x(n)與脈沖響應h(n)的卷積，*為卷積運算符號。

卷積的定義

連續(xù)時間系統(tǒng)x(t)和h(t)，離散時間序列x(n)和h(n)，卷積的定義：

公式3 卷積定義

存在一個特性：τ+(n-τ)=n。 如果x=τ，y=n-τ寫出卷積的運算步驟，x+y=n，在坐標軸上畫出來就是這樣：

圖4：連續(xù)圖像。由馬志虎繪制

如果你穿過這些直線，就像沿著拐角滾動毛巾一樣。 感謝馬知乎給出了這么直觀的理解卷積的方法。 沒錯，卷積就像卷起毛巾，移動一步，翻轉一步，乘法加法一步！

圖5：卷毛巾。馬志虎圖

卷積計算

顧名思義，卷積就是通過卷起來、折疊來求積。 所以卷積也稱為卷積。 具體步驟如下圖所示。 這也是最經(jīng)典的卷積方法和繪圖方法，更容易直觀理解。

圖6：卷積的計算步驟

現(xiàn)在我們可以使用卷積函數(shù)cov來幫助我們快速得到卷積結果。 但我還是鼓勵大家嘗試一下經(jīng)典的畫法。 在繪畫的過程中，你可以體會到“體積”的意義！

圖7：離散卷積的計算過程

它在時間軸上水平移動，然后垂直翻轉，所以我稱之為“三維”操作。

在圖像處理中，二維卷積使用的比較頻繁，這里不再詳細介紹。

圖8：二維卷積

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